Question

11．已知函數(shù)f（x）=3x²+2（k-1）x+k+5．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，3]上最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，3]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知，函數(shù)f（x）的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)$x=\frac{1-k}{3}$，分類(lèi)討論，即可求出函數(shù)f（x）在[0，3]上最大值；
（2）分類(lèi)討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上有兩相同的零點(diǎn)、兩不同的零點(diǎn)、函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)且在[0，3]上僅有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)組成不等式組求解即可．或利用分離參數(shù)求最值的方法求解．

解答 解：（1）由已知，函數(shù)f（x）的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)$x=\frac{1-k}{3}$．
當(dāng)$\frac{1-k}{3}≤\frac{3}{2}$，即$k≥-\frac{7}{2}$時(shí)，f（x）_max=f（3）=7k+26．…（2分）
當(dāng)$\frac{1-k}{3}＞\frac{3}{2}$，即$k＜-\frac{7}{2}$時(shí)，f（x）_max=f（0）=k+5．…（4分）
綜上：$f{（x）_{max}}=\left\{\begin{array}{l}k+5，k＜-\frac{7}{2}\\ 7k+26，k≥-\frac{7}{2}\end{array}\right.$..…（5分）
（2）1°當(dāng)函數(shù)f（x）在[0，3]上有兩相同的零點(diǎn)時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}△=4{（k-1）^2}-12（k+5）=0\\ 0≤\frac{1-k}{3}≤3\end{array}\right.$，
解得k=-2．…（8分）
2°當(dāng)函數(shù)f（x）在[0，3]上有兩不同的零點(diǎn)時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}△=4{（k-1）^2}-12（k+5）＞0\\ 0＜\frac{1-k}{3}＜3\\ f（0）=k+5≥0\\ f（3）=7k+26≥0\end{array}\right.$，
解得$-\frac{26}{7}≤k＜-2$..…（11分）
3°當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)且在[0，3]上僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)：
由零點(diǎn)存在定理得：f（0）f（3）≤0，解得$-5≤k＜-\frac{26}{7}$．…（13分）
而當(dāng)k=-5時(shí)，f（x）=3x²-12x，此時(shí)該函數(shù)的零點(diǎn)為0和4，符合要求．
綜上：-5≤k≤-2..…（15分）
解法2：函數(shù)f（x）在[0，3]上有零點(diǎn)等價(jià)于方程3x²+2（k-1）x+k+5=0在[0，3]上有解
即k（2x+1）=-（3x²-2x+5）
所以$k=-\frac{{3{x^2}-2x+5}}{2x+1}=-\frac{3}{4}[（2x+1）+\frac{9}{2x+1}-\frac{10}{3}]$
令t=2x+1∈[1，7]，則$k=-\frac{3}{4}（t+\frac{9}{t}-\frac{10}{3}）$在[1，3]單調(diào)遞增，在[3，7]單調(diào)遞減
所以k∈[-5，-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，在解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用，注意分類(lèi)討論，屬于中檔題．