Question

10．“無字證明”（proofs without words），就是將數(shù)學(xué)命題用簡單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形來呈現(xiàn)．請利用圖甲、圖乙、圖丙的面積關(guān)系，寫出該圖所驗(yàn)證的一個(gè)三角恒等變換公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

Answer 1

分析 由圖甲可得，S=$\frac{1}{2}$absin（90°-α+β）=$\frac{1}{2}$abcos（α-β）．圖乙與圖丙的面積和為$\frac{1}{2}$abcosαcosβ+$\frac{1}{2}$absinαsinβ，即可得出結(jié)論．

解答 解：由圖甲可得，S=$\frac{1}{2}$absin（90°-α+β）=$\frac{1}{2}$abcos（α-β）．
圖乙與圖丙的面積和為$\frac{1}{2}$abcosαcosβ+$\frac{1}{2}$absinαsinβ，
∴$\frac{1}{2}$abcos（α-β）=$\frac{1}{2}$abcosαcosβ+$\frac{1}{2}$absinαsinβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
故答案為：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等式的證明，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．