已知橢圓E經(jīng)過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求∠F1AF2的平分線所在直線l的方程；
（3）在橢圓E上是否存在關于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由．
（1）設橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)
∵橢圓E經(jīng)過點A（2，3），離心率e=
1
2

∴
a2-b2
a
=
1
2
4
a2
+
9
b2
=1
，
∴a2=16，b2=12
∴橢圓方程E為：
x2
16
+
y2
12
=1；
（2）F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），
∵A（2，3），
∴AF1方程為：3x-4y+6=0，AF2方程為：x=2
設角平分線上任意一點為P（x，y），則
|3x-4y+6|
5
=|x-2|．
得2x-y-1=0或x+2y-8=0
∵斜率為正，∴直線方程為2x-y-1=0；
（3）假設存在B（x1，y1）C（x2，y2）兩點關于直線l對稱，∴kBC=-
1
2

∴直線BC方程為y=-
1
2
x+m代入
x2
16
+
y2
12
=1得x2-mx+m2-12=0，
∴BC中點為(
m
2
，
3m
4
)
代入直線2x-y-1=0上，得m=4．
∴BC中點為（2，3）與A重合，不成立，所以不存在滿足題設條件的相異的兩點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，A（-1，0），B（1，0），過曲線C1：y=x2-1（|x|≥1）上一點M的切線l，與曲線C2：y=-
m(1-x2)
(|x|＜1)也相切于點N，記點M的橫坐標為t（t＞1）．
（1）用t表示m的值和點N的坐標；
（2）當實數(shù)m取何值時，∠MAB=∠NAB？并求此時MN所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，且離心率為
3
2
．
（1）若過F1的直線交橢圓E于P，Q兩點，且
PF1
=3
F1Q
，求直線PQ的斜率；
（2）若橢圓E過點（0，1），且過F1作兩條互相垂直的直線，它們分別交橢圓E于A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

過雙曲線
x2
3
-
y2
6
=1的右焦點F，傾斜角為30°的直線交此雙曲線于A，B兩點，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，0）、B（1，0），動點C滿足條件：△ABC的周長為2+2
2
．記動點C的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點（0，
2
）且斜率為k的直線l與曲線W有兩個不同的交點P和Q，求k的取值范圍；
（Ⅲ）已知點M（
2
，0），N（0，1），在（Ⅱ）的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量
OP
+
OQ
與
MN
共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F1（-1，0），且點P（0，1）在C1上．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y2=8x的焦點為F．橢圓Σ的中心在坐標原點，離心率e=
1
2
，并以F為一個焦點．
（1）求橢圓Σ的標準方程；
（2）設A1A2是橢圓Σ的長軸（A1在A2的左側(cè)），P是拋物線C在第一象限的一點，過P作拋物線C的切線，若切線經(jīng)過A1，求證：tan∠A1PA2=
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的兩焦點為F1（-1，0）、F2（1，0），P為橢圓上一點，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若點P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的頂點為A1，A2，B1，B2，焦點為F1，F(xiàn)2，，|A1B1|=
7
，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A，B兩點的直線，且|
OP
|=1，是否存在上述直線l使
AP
•
PB
=1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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