Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設T_n是數(shù)列{

1	lg(an)•lg(an+2)

}的n項和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n≥2時，a_n=9S_n-1+10 ①，又a_n+1=9S_n+10 ②，兩式相減可得遞推式，連同a₂與a₁的關(guān)系，可判斷數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，從而可得a_n；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）求出lg a_n，lga_n+2，進而可得

1

lg(an)•lg(an+2)

，拆項后利用裂項相消法可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）依題意，a₂=9a₁+10=100，故

a2

a1

=10，
當n≥2時，a_n=9S_n-1+10 ①，
又a_n+1=9S_n+10 ②，
②-①整理得：

an+1

an

=10，
故{a_n}為等比數(shù)列，且a_n=10•10^n-1=10ⁿ；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，a_n=10ⁿ，∴l(xiāng)g a_n=n，lga_n+2=n+2，
∴

1

lg(an)•lg(an+2)

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

點評：本題考查數(shù)列的求和、由遞推式求數(shù)列通項，考查學生分析解決問題的能力，（Ⅰ）問中要注意n的取值范圍，要檢驗n=1時的情形．