對于命題P：存在一個常數(shù)M，使得不等式
a
2a+b
+
b
2b+a
≤M≤
a
a+2b
+
b
b+2a
對任意正數(shù)a，b恒成立．
（1）試給出這個常數(shù)M的值；
（2）在（1）所得結(jié)論的條件下證明命題P．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）令a=b，得M=
2
3
；
（2）用分析法證明結(jié)論．
解答： 解：（1）令
a
2a+b
+
b
2b+a
=
a
a+2b
+
b
b+2a

得：a=b     故M=
2
3
；…（ 5分）
（2）先證明
a
2a+b
+
b
2b+a
≤
2
3
．
∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），
即證a2+b2≥2ab，即證（a-b）2≥0，這顯然成立．∴
a
2a+b
+
b
2b+a
≤
2
3
．
再證明
2
3
≤
a
a+2b
+
b
b+2a
：
∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），
即證a2+b2≥2ab，即證（a-b）2≥0，這顯然成立．∴
2
3
≤
a
a+2b
+
b
b+2a
．
點(diǎn)評：考查用分析法證明不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，找出M的值，是解題的突破口．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x=30.5，y=log32，z=cos2，則（　�。�
A、z＜y＜x
B、z＜x＜y
C、y＜z＜x
D、x＜z＜y

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
(
1
2
)x，x≤0
f(x-1)，x＞0
，則f（log27）=（　�。�
A、
4
7
B、
7
4
C、
8
7
D、
7
8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=sin2（
π
4
+x）-sin2（
π
4
-x）的值域是（　�。�
A、[-1，0]
B、[0，1]
C、[-1，1]
D、[-
1
2
，1]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l是過點(diǎn)p（-1，2），直線的傾斜角為120°，圓方程ρ=2cos（θ+
π
3
）；
（1）求直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，求|PM|•|PN|的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tanα=2，求值
（1）
sin(π-α)cos(2π-α)sin(-α+
3π
2
)
tan(-α-π)sin(-π-α)
；
（2）
sinα+3cosα
sinα-cosα

（3）sin2α+sinαcosα+3cos2α

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知 f（x）=x2+ax+a+1，g（x）=x+1．
（Ⅰ） 若f（x）≥0對于任意x∈R恒成立，求a的取值范圍．
（Ⅱ） 若a=2，x＞-1，求
f(x)
g(x)
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x軸上有一列點(diǎn)P1，P2，P3，…，Pn，…，當(dāng)n≥2時，點(diǎn)Pn是把線段Pn-1Pn+1作n等分的分點(diǎn)中最靠近Pn-1的點(diǎn)，設(shè)線段P1P2，P2P3，…，PnPn+1…的長度分別為a1，a2，a3，…，an…，其中a1=1．
（Ⅰ）寫出a2，a3，a4；
（Ⅱ）證明：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜3 (n∈N*)；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)Mn（n，
1
an
）（n＞2，n∈N*），在這些點(diǎn)中是否存在兩個點(diǎn)同時在函數(shù)y=
k
(x-1)2
 (k＞0)的圖象上，如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）的定義[-1，1]上的增函數(shù)，求不等式f（x-1）＜f（1-3x）的解集．

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同步練習(xí)冊答案