如圖，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分別為，的中點，為底面的重心.

（1）求證：∥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.

（1）見解析；（2）.

解析試題分析：（1）平行關系的證明問題問題，要注意三角形中位線定理的應用，注意平行關系的傳遞性，以及線線關系、線面關系、面面關系的相互轉化；
（2）立體幾何中的求角問題，往往有兩種思路，即“幾何法”和“向量法”.本題應用“幾何法”，應注意“一作，二證，三計算”，注意在直角三角形中解決問題；
應用“向量法”，要注意利用已有的垂直關系，一建立空間直角坐標系.
本題建系后，確定點的坐標及平面的法向量為， 及
計算得到 ，利用角的“互余”關系，即得直線與平面所成角的正弦值為.
試題解析：（1）連結延長交于，則為的中點，又為的中點，
∴∥，又∵平面，∴∥平面            2分
連結，則∥，平面，∥平面          4分
∴平面∥平面，                  5分
平面，                        6分
（2）矩形所在的平面和平面互相垂直，
所以平面，又平面，所以         7分
又，，，
由余弦定理知，得          8分
∴⊥平面                            9分
所以為直線與平面所成的角，                 10分
在直角三角形中
             12分

法二：以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
          7分
設平面的法向量為，

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在正四棱錐P－ABCD中，PA＝AB＝，點M，N分別在線段PA和BD上，BN＝BD．
（1）若PM＝PA，求證：MN⊥AD；
（2）若二面角M－BD－A的大小為，求線段MN的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知空間三點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．設a＝，b＝.
(1)求a和b的夾角θ；
(2)若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是邊長為1的正方形，E、F分別是棱B1B、DA的中點．
(1)求二面角D1-AE-C的大��；
(2)求證：直線BF∥平面AD1E.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E分別是AC,CC1的中點.

(1)求證:AE⊥平面A1BD.
(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.
(3)求點B1到平面A1BD的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，側棱SA底面ABCD，且SA＝2，AD＝DC＝1

（1）若點E在SD上，且證明：平面；
（2）若三棱錐S－ABC的體積，求面SAD與面SBC所成二面角的正弦值的大小

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.

(1)求證：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值；
(3)證明：在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B，并求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P­ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD中點．

(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；
(2)求B點到平面PCD的距離；
(3)線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q­AC­D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝.

(1)求證：平面EAB⊥平面ABCD；
(2)求直線AE與平面CDE所成角的正弦值．

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