Question

6．已知數(shù)列[a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，且前n項(xiàng)和為S_n滿足S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并歸納出a_n的通項(xiàng)公式（不用證明）；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{1}{2}$，且前n項(xiàng)和為S_n滿足S_n=n²a_n（n∈N^*）．令n=2，可得：$\frac{1}{2}+{a}_{2}$=4a₂，解得a₂=$\frac{1}{6}$，同理可得：a₃，a₄．可得：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）利用a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，可得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．即可證明．

解答 1）解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，且前n項(xiàng)和為S_n滿足S_n=n²a_n（n∈N^*）．
令n=2，可得：$\frac{1}{2}+{a}_{2}$=4a₂，解得a₂=$\frac{1}{6}$，同理可得：a₃=$\frac{1}{12}$，a₄=$\frac{1}{20}$．
可得：a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
（2）證明：∵a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．
即S_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．