Question

16．德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈Q}\\{0，x∈{∁}_{R}Q}\end{array}\right.$被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集，則關(guān)于函數(shù)f（x）有如下四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②f（f（x））=0；
③任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對任意的x∈R恒成立；
④不存在三個(gè)點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），
使得△ABC 為等邊三角形．其中為真命題的是①③④．

Answer 1

分析 ①由有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，對任意x∈R，都有f（-x）=f（x），即可判斷出正誤；
②當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（x）=0，可得當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（f（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（f（x））=f（0）=1，即可判斷出正誤．
③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)； 若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)，可得f（x+T）=f（x）；
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．則f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0，則△ABC為等邊三角形，即可判斷出正誤．

解答 解：對于①，∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，
∴對任意x∈R，都有f（-x）=f（x），故①正確；
對于②，∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（x）=0，
∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（f（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（f（x））=f（0）=1，
即不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1，故②不正確；
對于③，若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)； 若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)，
∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故③正確；
對于④，取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．則f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0，則△ABC為等邊三角形，故正確．
即真命題是①③④，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題考查了狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．