Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，f（x+3）＜2x+a恒成立，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=1，y=0得f（0）的方程，解方程即可得出；
（2）y=0，可得f（x）的方程，即可解出f（x）的解析式；
（3）f（x+3）＜2x+a可化為a＞x²+5x在x∈[0，

1

2

]恒成立，轉(zhuǎn)化為a＞（x²+5x）_max，求最值即可．

解答： 解：（1）令x=1，y=0得f（1+0）-f（0）=2，
又f（1）=0，可得f（0）=-2，
（2）令y=0，可得f（x）-f（0）=x（x+1），
所以f（x）=x²+x-2，
（3）x∈[0，

1

2

]時(shí)，f（x+3）＜2x+a恒成立，即x∈[0，

1

2

]時(shí)，a＞x²+5x恒成立．
∴a＞（x²+5x）_max，
因?yàn)閤²+5x在[0，

1

2

]單調(diào)增，所以最大值為

11

4

．
所以a的范圍是a＞

11

4

．

點(diǎn)評(píng)：抽象函數(shù)的求解問(wèn)題，合理賦值是解答的關(guān)鍵，函數(shù)恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題一般要轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．