Question

已知橢圓的右焦點為F，過點P（5，0）的直線l與橢圓C交于Q、R，且．
（1）若，求直線l的方程；
（2）試用λ表示Q點的橫坐標，并求出λ的最大值；
（3）若點S是點R關于x軸的對稱點，求證：．

Answer 1

（1）解：設R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
∵，∴（x₁-5，y₁）=（x₂-5，y₂）
∴x₁=x₂-，y₁=y₂，
∵，
∴，
∵P（5，0），∴直線l的斜率為±
∴直線l的方程為y=±（x-5）；
（2）解：∵，∴（x₁-5，y₁）=λ（x₂-5，y₂）
∴x₁=λx₂-5λ+5，y₁=λy₂，
∵，
∴
當且僅當P，Q，R在長軸上時，λ最大，此時，
∴λ=
（3）證明：由（2）知，S（x₁，-y₁），F(xiàn)（1，0）
∴=（1-x₁，y₁），=（x₂-1，y₂），
∵x₁=λx₂-5λ+5，y₁=λy₂，
∴
分析：（1）設R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用，可得坐標之間的關系，再利用點在橢圓上，求得點的坐標，即可求得直線l的方程；
（2）利用，可得坐標之間的關系，再利用點在橢圓上，求得點的坐標，當且僅當P，Q，R在長軸上時，λ最大；
（3）由（2）知，S（x₁，-y₁），F(xiàn)（1，0），用坐標表示向量，即可證得結論．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合，考查向量知識的運用，解題的關鍵是確定坐標之間的關系．