Question

據(jù)某城市2002年末所作的統(tǒng)計資料顯示，到2002年末，該城市堆積的垃圾已達50萬噸，侵占了大量的土地，并且成為造成環(huán)境污染的因素之一.根據(jù)預(yù)測，從2003年起該城市還將以每年3萬噸的速度產(chǎn)生新的垃圾，垃圾的資源化和回收處理已經(jīng)成為該市城市建設(shè)中的重要問題.

(1)假設(shè)1992年底該城市堆積的垃圾為10萬噸，從1993年到2002年這十年中，該城市每年產(chǎn)生的新垃圾以8%的年平均增長率增長，試求1993年該城市產(chǎn)生的新垃圾約有多少萬噸？(精確到0.01，參考數(shù)據(jù):1.08¹⁰≈2.159)

(2)如果從2003年起，該市每年處理上年堆積垃圾的20%，現(xiàn)有b₁表示2003年底該市堆積的垃圾數(shù)量，b₂表示2004年底該市堆積的垃圾數(shù)量,…,b_n表示2002+n年底該城市堆積的垃圾數(shù)量，①求b₁;②試歸納出b_n的表達式(不用證明)；③計算b_n，并說明其實際意義.

Answer 1

解:(1)設(shè)1993年該城市產(chǎn)生的新垃圾為x萬噸.依題意，得

    10+x+1.08x+1.08²x+…+1.08⁹x=50,

    ∴·x=40.

    ∴x=×40≈2.76萬噸.

    ∴1993年該城市產(chǎn)生的新垃圾約為2.76萬噸.

    (2)①b₁=50×80%+3=43(萬噸).

    ②∵b₁=50×80%+3=50×+3，

    b₂=b₁+3=50×()²+3×+3，

    b₃=b₂+3=50×()³+3×()²+3×+3，

    ∴可歸納出b_n=50×()ⁿ+3×()^n-1+3×()^n-2+…+3×+3

    =50×()ⁿ+3×=50×()ⁿ+15［1-()ⁿ］=35×()ⁿ+15.

    ③b_n=［35×()ⁿ+15］=15.

    這說明，按題目設(shè)想的方法處理垃圾，該市垃圾總量將逐年減少，但不會少于15萬噸.