Question

據(jù)某城市2002年末所作的統(tǒng)計資料顯示，到2002年末，該城市堆積的垃圾已達50萬噸，侵占了大量的土地，并且成為造成環(huán)境污染的因素之一．根據(jù)預(yù)測，從2003年起該城市還將以每年3萬噸的速度產(chǎn)生新的垃圾，垃圾的資源化和回收處理已經(jīng)成為該市城市建設(shè)中的重要問題．
（1）假設(shè)1992年底該城市堆積的垃圾為10萬噸，從1993年到2002年這十年中，該城市每年產(chǎn)生的新垃圾以8%的年平均增長率增長，試求1993年該城市產(chǎn)生的新垃圾約有多少萬噸？（精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：1.08¹⁰≈2.159）
（2）如果從2003年起，該市每年處理上年堆積垃圾的20%，現(xiàn)有b₁表示2003年底該市堆積的垃圾數(shù)量，b₂表示2004年底該市堆積的垃圾數(shù)量…b_n表示2002+n年底該城市堆積的垃圾數(shù)量，①求b₁；②試歸納出b_n的表達式（不用證明）；③計算b_n，并說明其實際意義．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求1993年該城市產(chǎn)生的新垃圾約有多少萬噸，我們可以設(shè)1993年該城市產(chǎn)生的新垃圾約有X萬噸，然后由1992年底該城市堆積的垃圾為10萬噸，從1993年到2002年這十年中，該城市每年產(chǎn)生的新垃圾以8%的年平均增長率增長，到2002年末，該城市堆積的垃圾已達50萬噸，構(gòu)造關(guān)于X的方程，解方程，即可得到結(jié)果．
（2）由2002年末，該城市堆積的垃圾已達50萬噸，從2003年起，該市每年處理上年堆積垃圾的20%，現(xiàn)有b₁表示2003年底該市堆積的垃圾數(shù)量，我們易代入得到b_n=50×（）ⁿ+3×（）^n-1+3×（）^n-2++3×+3，然后利用極限思想，求出b_n的值．
解答：解：（1）設(shè)1993年該城市產(chǎn)生的新垃圾為x萬噸．依題意，得
10+x+1.08x+1.08²x++1.08⁹x=50，
∴•x=40．
∴x=×40≈2.76萬噸．
∴1993年該城市產(chǎn)生的新垃圾約為2.76萬噸．
（2）①b₁=50×80%+3=43（萬噸）．
②∵b₁=50×80%+3=50×+3，
b₂=b₁+3=50×（）²+3×+3，
b₃=b₂+3=50×（）³+3×（）²+3×+3，
∴可歸納出b_n=50×（）ⁿ+3×（）^n-1+3×（）^n-2++3×+3
=50×（）ⁿ+3×=50×（）ⁿ+15[1-（）ⁿ]=35×（）ⁿ+15．
③b_n=[35×（）ⁿ+15]=15．
這說明，按題目設(shè)想的方法處理垃圾，該市垃圾總量將逐年減少，但不會少于15萬噸．
點評：函數(shù)的實際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建�！�解�！�還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問題中，最常見的思路之一．