Question

給出下列四個(gè)命題：
（1）命題“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x0∈R，x02-x0＜0”；
（2）定義在R上的奇函數(shù)f（x），滿足f（x+2）=-f（x），則f（6）的值為0；
（3）函數(shù)y=log₂x+x²-2在（1，2）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；
（4）單位向量

a

、

b

的夾角是60°，則向量2

a

-

b

的模是2．
（5）“k=1”是“函數(shù)y=cos²kx-sin²kx的最小正周期為π”的充要條件．
其中正確命題的序號(hào)是

（2）（3）

（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：（1）命題的否定，將量詞與結(jié)論同時(shí)否定，按照這個(gè)規(guī)則進(jìn)行判斷；
（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0及條件f（x+2）=-f（x）即可求出f（6）；
（3）在同一坐標(biāo)系中畫出y₁=log₂x與y₂=-x²+2的圖象，分析出兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求出函數(shù)y=log₂x+x²-2在（1，2）內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（4）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出|2

a

-

b

|²的值，從而得到|2

a

-

b

|的值；
（5）取特殊值k=-1，函數(shù)y=cos²kx-sin²kx的最小正周期也為π，可判定真假．

解答：解：（1）命題的否定，將量詞與結(jié)論同時(shí)否定，故命題“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”．（1）錯(cuò)；
（2）因?yàn)閒（x+2）=-f（x），所以f（6）=-f（4）=f（2）=-f（0），
又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，所以f（6）=0，故（2）對(duì)；
（3）在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y₁=log₂x與y₂=-x²+2的圖象；
由函數(shù)y₁=log₂x與y₂=-x²+2的圖象可得函數(shù)y=log₂x+x²-2在（1，2）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．故（3）對(duì)；
（4）∵兩個(gè)單位向量

a

、

b

的夾角是60°，
∴|2

a

-

b

|²=4

a

²-4

a

•

b

+

b

²=4-4×1×1×cos60°+1=3，
故|2

a

-

b

|=

3

．（4）錯(cuò)；
（5）當(dāng)k=-1，函數(shù)y=cos²（-x）-sin²（-x）=cos2x，最小正周期也為π，是個(gè)假命題；
故答案為：（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)與充要條件的判斷，以及向量及其模等，是一道綜合題．