如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分別是PA,PB的中點,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=
2
,CD=1.
(Ⅰ)證明:MN∥平面PCD;
(Ⅱ)證明:MC⊥BD.
考點:直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關系
專題:空間位置關系與距離
分析:(Ⅰ)證明:取AD中點E,連結ME,NE,由已知M,N分別是PA,BC的中點,得到ME∥PD,NE∥CD,利用面面平行的判定定理得到所證;
(Ⅱ)因為PD⊥平面ABCD,利用線面垂直的性質(zhì)定理得PD⊥DA,PD⊥DC,建立空間直角坐標系,分別寫出D,A,B,C,P的坐標,判斷向量
MC
BD
的位置關系.
解答: (Ⅰ)證明:取AD中點E,連結ME,NE,…(2分)
由已知M,N分別是PA,BC的中點,
所以ME∥PD,NE∥CD,…(4分)
所以,平面MNE∥平面PCD,…(7分)
所以,MN∥平面PCD.…(8分)
(Ⅱ)證明:因為PD⊥平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC,
在矩形ABCD中,AD⊥DC,
如圖,建立空間直角坐標系,…(9分)
則D(0,0,0),A(
2
,0,0),B(
2
,1,0),C(0,1,0),P(0,0,
2
).…(10分)
所以M(
2
2
,0,
2
2
),
BD
=(-
2
,-1,0),
MC
=(-
2
2
,1,-
2
2
)
,…(11分)
因為
MC
BD
=0
,所以MC⊥BD.…(13分)
點評:本題考查了面面平行的性質(zhì)定理和判定定理以及利用空間向量證明線線垂直,體現(xiàn)了向量的工具性.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年云南德宏州芒市高一上學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

函數(shù)的值為 ( )

A. 1 B. C. 3 D. 0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年江西省高一上學期期中考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

如下圖所示,那么陰影部分所表示的集合是( )

A. B.

C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年江西省贛州市北校高二1月月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

如圖,正方體的棱長為,點在棱上,且,點是平面上的動點,且動點到直線的距離與點到點的距離的平方差為,則動點的軌跡是 ( )

A.圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.橢圓

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年江西省贛州市北校高二1月月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題

如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖,則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是( )

A.62 B.63 C.64 D.56

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

有7名學生站成一排,下列情況各有多少種不同的排法.
(1)甲、乙必須排在一起;
(2)若甲不在排頭,乙不在排尾;
(3)甲、乙、丙互不相鄰;
(4)甲、乙之間須隔一個人;
(5)若甲必須在乙的右邊(可以相鄰,也可以不相鄰),有多少種站法?
(6)若將7人分成兩排,前四后三,有多少種站法.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-
1
x
-alnx(a∈R)
(1)若f(x)在點(1,f(1))處的切線與圓x2+y2-2y=0相切,求a的值;
(2)是否存在實數(shù)a,使得f(x)>0在(1,+∞)上恒成立?如果存在,試求出實數(shù)a的取值范圍;如果不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+(-1)n,n≥1.求數(shù)列{an}的通項公式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設點A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數(shù)y=f(x)(x1<x<x2)圖象上的兩端點.O為坐標原點,且點N滿足
ON
OA
+(1-λ)
OB
,點M(x,y)在函數(shù)y=f(x)的圖象上,且滿足x=λx1+(1-λ)x2(λ為實數(shù)),則稱|MN|的最大值為函數(shù)y=f(x)的“高度”.函數(shù)f(x)=x2-2x-1在區(qū)間[-1,3]上的“高度”為
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案