已知函數(shù)f(x)=
2
x
-log2
1+mx
1-x
是奇函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）請討論它的單調(diào)性，并給予證明．
（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）+f（x）=0；
即(-
2
x
-log2
1-mx
1+x
)+(
2
x
-log2
1+mx
1-x
)=0，解得：m=1，其中m=-1（舍）；
經(jīng)驗證當(dāng)m=1時，f(x)=
2
x
-log2
1+x
1-x
(x∈(-1，0)∪(0，1))確是奇函數(shù)．
（2）先研究f（x）在（0，1）內(nèi)的單調(diào)性，任取x1、x2∈（0，1），且設(shè)x1＜x2，則
f(x1)-f(x2)=
2
x1
-
2
x2
+[lo g2(
2
1-x2
-1)-log2(
2
1-x1
-1)]，
由
2
x1
-
2
x2
＞0，log2(
2
1-x2
-1)-log2(
2
1-x1
-1)＞0，
得f（x1）-f（x2）＞0，即f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減；
由于f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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