Question

8．“3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示橢圓”的（　　）條件．

• A． 充分不必要
• B． 必要不充分
• C． 充要
• D． 既不充分也不必要

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①對于方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$，若其表示橢圓，依據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解可得a的取值范圍，分析可得3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示橢圓”的必要條件；②分析當(dāng)3＜a＜5，方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$不一定表示橢圓，即3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示橢圓”的不充分條件；綜合由充分、必要條件的定義分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，
對于方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$，若其表示橢圓，則有a-3＞0，5-a＞0，且a-3≠5-a，
解可得3＜a＜5，且a≠4；
故3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示橢圓”的必要條件；
方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$中，若3＜a＜5，則a-3＞0，5-a＞0，
當(dāng)a=4時，a-3=5-a，方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示圓，
當(dāng)a≠4時，a-3≠5-a，方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示橢圓，
則3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示橢圓”的不充分條件；
綜合可得，3＜a＜5”是“方程$\frac{x^2}{a-3}+\frac{y^2}{5-a}=1$表示橢圓”的必要不充分條件；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查充分、必要條件的判定，涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是理解充分．必要條件的判定方法以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．