Question

16．已知圓心為C的圓（x-1）²+y²=6內(nèi)有點P（2，2），過點P作直線l交圓C于A，B兩點．
（1）當弦AB被點P平分時，求直線l的方程．
（2）當AB長為2$\sqrt{5}$時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由圓的標準方程可得圓心坐標，從而求得直線的斜率，利用點斜式求直線的方程．
（2）當直線l的斜率存在時，利用弦長公式求得斜率的值，用點斜式求直線的方程．當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=2，經(jīng)檢驗符合題意，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）當弦AB被點P平分時，CP和直線l垂直，k_CP=2，故直線l的斜率為-$\frac{1}{2}$，
用點斜式求得直線l的方程為 y-2=-$\frac{1}{2}$（x-2），即 x+2y-6=0．
（2）由于圓的半徑為$\sqrt{6}$，當AB長為2$\sqrt{5}$時，圓心到直線l的距離為1
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y-2=k（x-2），
整理得kx-y+（2-2k）=0，圓心到直線l的距離為d=$\frac{|k-0+2-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$\frac{3}{4}$，代入整理得3x-4y+2=0．  （8分）
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=2，經(jīng)檢驗符合題意．
∴直線l的方程為3x-4y+2=0，或x=2．        （10分）

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，利用點斜式求直線的方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．