Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

x

，g（x）=ax+b，若直線g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）=lnx-

1

x

圖象的切線，求a+b的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)切點（m，lnm-

1

m

），求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得a=

1

m

+

1

m2

，lnm-

1

m

=ma+b，即可得到a+b=lnm-

1

m

+

1

m2

-1，令

1

m

=t＞0換元，可得a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可得到a+b的最小值．

解答： 解：設(shè)切點（m，lnm-

1

m

），函數(shù)f（x）=lnx-

1

x

的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1

x

+

1

x2

，
即有切線的斜率為

1

m

+

1

m2

，
若直線g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）=lnx-

1

x

圖象的切線，
則a=

1

m

+

1

m2

，lnm-

1

m

=ma+b，
即有b=lnm-

2

m

-1，
a+b=lnm-

1

m

+

1

m2

-1，
令

1

m

=t＞0，則a+b=-lnt-t+t²-1，
令a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，
則φ′（t）=-

1

t

+2t-1=

(2t+1)(t-1)

t

，
當(dāng)t∈（0，1）時，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)t∈（1，+∞）時，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
即有t=1時，φ（t）取得極小值，也為最小值．
則a+b=φ（t）≥φ（1）=-1，
故a+b的最小值為-1．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和求極值、最值，主要考查構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間求得極值也為最值，屬于中檔題．