Question

已知不等式組

x2-4x+3＜0 x2+2x-8＞0

的解集是A，且存在x₀∈A，使得不等式x²-ax+4＞0成立．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）解一元二次不等式求出不等式組的解，即得到集合A；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²-ax+4，求出其最大值，令最大值大于0，求出a 的范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）

x2-4x+3＜0 x2+2x-8＞0

解得

1＜x＜3 x＜-4或x＞2

∴A={x|2＜x＜3}，
（Ⅱ）令f（x）=x²-ax+4，
由題意得x∈A時(shí)，f（x）_max＞0，
①當(dāng)

a

2

≥2.5即a≥5時(shí)，f（x）_max=f（2）=8-2a＞0，
∴a＜4（舍去）；
②當(dāng)

a

2

＜2.5即a＜5時(shí)，f（x）_min=f（3）=13-3a＞0，
∴a＜

13

3

，
總之，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a＜

13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的解法；考查 二次函數(shù)最值的求法；考查轉(zhuǎn)化的思想，屬于一道基礎(chǔ)題．