Question

給出下列四個(gè)命題：
①已知a，b，m都是正數(shù)，且

a+m

b+m

＞

a

b

，則a＜b；
②若函數(shù)f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＜1}，則a＜-1；
③已知x∈（0，π），則y=sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

；
④已知a、b、c成等比數(shù)列，a、x、b成等差數(shù)列，b、y、c也成等差數(shù)列，則

a

x

+

c

y

的值等于2．其中正確命題的序號(hào)是

①④

．

Answer 1

分析：①由

a+m

b+m

＞

a

b

整理可得bm＞am，結(jié)合a＞0，b＞0，m＞0可得
②由題意可得ax＞-1，由函數(shù)定義域是{x|x＜1}可得a=-1；
③由x∈（0，π）可得sinx∈（0，1]，令t=sinx，結(jié)合y=sinx+

2

sinx

=t+

2

t

在（0，1]上單調(diào)遞減可求函數(shù)的最小值
④由題意可得ac=b²，2x=a+b，2y=b+c，代入

a

x

+

c

y

=

2a

a+b

+

2c

b+c

整理可求

解答：解：①由

a+m

b+m

＞

a

b

可得ab+bm＞ab+am即bm＞am，由a＞0，b＞0，m＞0可得a＜b；①正確
②由題意可得，ax+1＞0可得ax＞-1，由函數(shù)f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＜1}可得a=-1；②錯(cuò)誤
③由x∈（0，π）可得sinx∈（0，1]，令t=sinx，則y=sinx+

2

sinx

=t+

2

t

在（0，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)t=sinx=1時(shí)函數(shù)有最小值為3；③錯(cuò)誤
④由題意可得ac=b²，2x=a+b，2y=b+c，則

a

x

+

c

y

=

2a

a+b

+

2c

b+c

=

2ab+2ac+2ac+2bc

(a+b)(b+c)

=

2ab+2ac+2b2+2bc

ab+ac+b2+bc

=2，故④正確
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題主要綜合考查了不等式的基本性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，等差等比中項(xiàng)的應(yīng)用，屬于知識(shí)的綜合應(yīng)用．