Question

11．如圖，ABCDEF為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．
（Ⅰ）證明直線BC∥EF；
（Ⅱ）求棱錐F-OBED的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點．由已知條件推導(dǎo)出OB，OC，的關(guān)系，然后證明BC∥EF．
（Ⅱ）求出棱錐的底面面積，求出四棱錐F-OBED的高，然后求解幾何體的體積．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)G是線段DA與EB延長線的交點．
由于△OAB與△ODE都是正三角形，
∴OB$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，OG=OD=2，
同理，設(shè)G'是線段DA與FC延長線的交點，有OG'=OD=2．
又由于G和G'都在線段DA的延長線上，
∴G與G'重合．在△GED和△GFD中，
由OB$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE和OC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DF，
知B和C分別是GE和GF的中點．
∴BC是△GEF的中位線，
故BC∥EF．
（Ⅱ）由OB=1，OE=2．∠EOB=60°，可知：${S}_{△EOB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，而△OED是邊長為2的正三角形，
所以，${S}_{△OED}=\sqrt{3}$所以${S}_{△BED}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，過點F作FQ⊥AD，交AD于Q，
由平面ABED⊥平面ACFD可知FQ是四棱錐F-OBED的高，且FQ=$\sqrt{3}$．
所以${V}_{F-OBED}=\frac{1}{3}FQ•{S}_{OBED}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．