已知函數(shù)f(x)=2sin2(
π
4
+x)-
3
cos2x，x∈[
π
4
，
π
2
]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
分析：（1）先利用二倍角公式化簡，再利用差角的正弦函數(shù)化簡函數(shù)，可得f(x)=1+2sin(2x-
π
3
)，根據(jù)已知角的范圍，確定2x-
π
3
∈ [
π
6
，
2π
3
]，從而得解；
（2）根據(jù)）2x-
π
3
∈ [
π
6
，
2π
3
]，可得2x-
π
3
∈ [
π
6
，
π
2
]時，函數(shù)單調(diào)增，2x-
π
3
∈ [
π
2
，
2π
3
]時，函數(shù)單調(diào)減，故可解．
解答：解：（1）由題意，函數(shù)可化為：f(x)=1+sin2x-
3
cos2x=1+2sin(2x-
π
3
)
∵x∈[
π
4
，
π
2
]
∴2x-
π
3
∈ [
π
6
，
2π
3
]
∴sin(2x-
π
3
)∈ [
1
2
，1]
∴f（x）∈[2，3]
∴f（x）的最大值和最小值分別為3，2；
（2）∵2x-
π
3
∈ [
π
6
，
2π
3
]
∴2x-
π
3
∈ [
π
6
，
π
2
]時，函數(shù)單調(diào)增，2x-
π
3
∈ [
π
2
，
2π
3
]時，函數(shù)單調(diào)減．
∴函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為[
π
4
，
5π
12
]，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為[
5π
12
，π]
點評：本題以三角函數(shù)為載體，考查三角函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是對函數(shù)的化簡．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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