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1.函數(shù)f(x)=6cos2\frac{ωx}{2}+\sqrt{3}sinωx-3(ω>0)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,A為圖象的最高點,B、C為圖象與x軸的交點,且△ABC為正三角形.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的值域;
(2)若f(x0)=\frac{4\sqrt{15}}{5},且x0∈(-\frac{10}{3},\frac{2}{3}),求f(x0+1)的值.

分析 (1)變形可得f(x)=2\sqrt{3}sin(ωx+\frac{π}{3}),由又由三角形的知識和周期公式可得ω=\frac{π}{4},由振幅的意義可得值域;
(2)由已知和(1)的解析式可得sin(\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{5}}{5},進而由角的范圍和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cos(\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3})=\frac{2\sqrt{5}}{5},代入f(x0+1)=2\sqrt{3}sin(\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3}+\frac{π}{4})=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}[sin(\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3})+cos(\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3})]計算可得.

解答 解:(1)由已知得f(x)=6cos2\frac{ωx}{2}+\sqrt{3}sinωx-3
=3cosωx+\sqrt{3}sinωx=2\sqrt{3}sin(ωx+\frac{π}{3}
又△ABC為正三角形,且高為2\sqrt{3},可得BC=4.
∴函數(shù)f(x)的最小正周期為8,即\frac{2π}{ω}=8,
解得ω=\frac{π}{4},∴f(x)=2\sqrt{3}sin(\frac{π}{4}x+\frac{π}{3}),
∴函數(shù)f(x)的值域為:[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}];
(2)∵f(x0)=\frac{4\sqrt{15}}{5},
∴2\sqrt{3}sin(\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3})=\frac{4\sqrt{15}}{5}
故sin(\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{5}}{5},
∵x0∈(-\frac{10}{3},\frac{2}{3}),∴\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3}∈(-\frac{π}{2},\frac{π}{2}),
∴cos(\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3})=\sqrt{1-si{n}^{2}(\frac{π}{4}{x}_{0}+\frac{π}{3})}=\frac{2\sqrt{5}}{5}
∴f(x0+1)=2\sqrt{3}sin(\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3}+\frac{π}{4}
=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}[sin(\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3})+cos(\frac{π}{4}x0+\frac{π}{3})]=\frac{3\sqrt{30}}{5}

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換,涉及三角函數(shù)的周期性和和差角的三角函數(shù)以及整體思想,屬中檔題.

練習冊系列答案
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A.60B.61C.62D.63

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(2)若從數(shù)列{an}中依次取出第2項,第4項,第8項,第2n項,按原來的順序組成一個新數(shù)列{bn},求Sn=b1+b2+…+bn

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