Question

5．求滿足下列條件的雙曲線的標準方程．
（1）求與橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{4}$=1有公共焦點，且離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$的雙曲線的方程；
（2）過P（3，$\frac{15}{4}$）和Q（-$\frac{16}{3}$，5）兩點．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的焦點，可得c，利用e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，得a=2，得b²=c²-a²=5-4=1，可得雙曲線的方程；
（2）設(shè)雙曲線方程為mx²+ny²=1，（mn＜0），點P（3，$\frac{15}{4}$）和Q（-$\frac{16}{3}$，5）在雙曲線上，代入，求出m，n，即可得到雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{4}$=1焦點為F（±5，0），根據(jù)題意得雙曲線的焦點為F（±5，0），則c=5．
又由e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，得a=2，得b²=c²-a²=5-4=1，
所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．
（2）設(shè)雙曲線方程為mx²+ny²=1，（mn＜0），
∵點P（3，$\frac{15}{4}$）和Q（-$\frac{16}{3}$，5）在雙曲線上，
∴9m+$\frac{225}{16}$n=1，$\frac{256}{9}$m+25n=1，
解得m=-$\frac{1}{16}$，n=$\frac{1}{9}$，
∴雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{16}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查待定系數(shù)法的運用，屬于中檔題．