Question

12．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S₂=-1，S₅=5，則數(shù)列{$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}$}的前2016項的和為（　�。�

• A． $\frac{2016}{4033}$
• B． -$\frac{4032}{4031}$
• C． $\frac{2016}{4031}$
• D． -$\frac{2016}{4031}$

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由S₂=-1，S₅=5，可得2a₁+d=-1，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=5，解得a₁，d，可得$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵S₂=-1，S₅=5，
∴2a₁+d=-1，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=5，
解得a₁=-1，d=1，
∴a_n=-1+（n-1）=n-2．
∴$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$．
則數(shù)列{$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}$}的前2016項的和=$\frac{1}{2}[（-1-1）+（1-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2×2016-3}-\frac{1}{2×2016-1}）]$
=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{4031}）$
=-$\frac{2016}{4031}$．
故選：D．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．