Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求數列{b_n}的通項公式；
（3）設c_n=n （3-b_n），求數列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數列中a_n與 Sn關系解決．
（2）結合（1）所求得出b_n+1-b_n=．利用累加法求b_n
（3）由上求出c_n=n （3-b_n）=，利用錯位相消法求和即可．
解答：解：（1）因為n=1時，a₁+S₁=a₁+a₁=2，所以a₁=1．
因為S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，所以a_n+1+S_n+1=2．
兩式相減：a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0，即a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n．
因為a_n≠0，所以=（ n∈N^*）．
所以數列{a_n}是首項a₁=1，公比為的等比數列，a_n=（ n∈N^*）．
（2）因為b_n+1=b_n+a_n（ n=1，2，3，…），所以b_n+1-b_n=．從而有b₂-b₁=1，b₃-b₂=，b₄-b₃=，…，b_n-b_n-1=（ n=2，3，…）．
將這n-1個等式相加，得b_n-b₁=1+++…+==2-．
又因為b₁=1，所以b_n=3-（ n=1，2，3，…）．
（3）因為c_n=n （3-b_n）=，
所以T_n=．   ①
=．       ②
①-②，得=-．
故T_n=-=8--=8-（ n=1，2，3，…）．
點評：本題考查利用數列中a_n與 Sn關系求數列通項，累加法、錯位相消法求和，考查轉化、變形構造、計算能力．