Question

18．如圖所示，已知點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且AP=1，BP=2，CP=3，則該正方形ABCD的面積為5+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意作BE垂直BP，使BE=BP（點(diǎn)E和P在BC兩側(cè)），連接PE，CE，作CH垂直BE的延長(zhǎng)線于H，則∠CEH=180°-∠BEC=45°．進(jìn)一步由勾股定理求得答案即可．

解答 解：作BE垂直BP，使BE=BP（點(diǎn)E和P在BC兩側(cè)），連接PE，CE．
則：∠BPE=∠BEP=45°；PE²=BE²+BP²=4+4=8；
∵∠EBP=∠CBA=90°．
∴∠EBC=∠PBA；又BE=BP，BC=BA．
∴△EBC≌△PBA（SAS），CE=AP=1．
∵PE²+CE²=8+1=9； PC²=3²=9．
∴PE²+CE²=PC²，則∠PEC=90°，∠BEC=∠BEP+∠PEC=135°；
作CH垂直BE的延長(zhǎng)線于H，則∠CEH=180°-∠BEC=45°．
∴CH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BH=BE+EH=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故S正方形ABCD=BC²=BH²+CH²=（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=5+2$\sqrt{2}$，
故答案為5+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，屬于中檔題．