Question

2012·江蘇卷] 如圖1－4，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁B₁＝A₁C₁，D，E分別是棱BC，CC₁上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F為B₁C₁的中點．

求證：(1)平面ADE⊥平面BCC₁B₁；

(2)直線A₁F∥平面ADE.

圖1－4

Answer 1

證明：(1)因為ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC，

又AD⊂平面ABC，所以CC₁⊥AD.

又因為AD⊥DE，CC₁，DE⊂平面BCC₁B₁，CC₁∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC₁B₁.又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC₁B₁.

(2)因為A₁B₁＝A₁C₁，F為B₁C₁的中點，所以A₁F⊥B₁C₁.

因為CC₁⊥平面A₁B₁C₁，且A₁F⊂平面A₁B₁C₁，

所以CC₁⊥A₁F.

又因為CC₁，B₁C₁⊂平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁＝C₁，

所以A₁F⊥平面BCC₁B₁.

由(1)知AD⊥平面BCC₁B₁，所以A₁F∥AD.

又AD⊂平面ADE，A₁F⊄平面ADE，所以A₁F∥平面ADE.