【題目】已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+e,g(x)=1-lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(I)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線l:x+2y=0垂直,求實數(shù)a的值;
(II)設函數(shù)F(x)=-x[g(x)+x-2],若F(x)在區(qū)間(m,m+1)(m∈Z)內(nèi)存在唯一的極值點,求m的值;
(III)用max{m,n}表示m,n中的較大者,記函數(shù)h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0). 若函數(shù)h(x)在(0,+∞)上恰有2個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(I)a=; (II)m=0或m=3; (III)a>.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),計算f′(1),求出a的值即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)F(x)的導數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點,求出對應的m的值即可;
(Ⅲ)通過討論a的范圍求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點個數(shù)確定a的范圍即可.
試題解析:
(I)易得,f '(x)=3x2-3a,所以f '(1)=3-3a,
依題意,(3-3a)(-)=-1,解得a=;
(II)因為F(x)=-x[g(x)+x-2]=-x[(1-lnx)+x-2]=xlnx-x2+x,
則F' (x)=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 設t(x)=lnx-x+2,
則t '(x)=-1=.
令t '(x)=0,得x=1.
則由t '(x)>0,得0<x<1,F(xiàn) '(x)為增函數(shù);
由t '(x)<0,得x>1,F(xiàn) '(x)為減函數(shù);
而F '()=-2-+2=-<0,F(xiàn) '(1)=1>0.
則F '(x)在(0,1)上有且只有一個零點x1,
且在(0,x1)上F '(x)<0,F(xiàn)(x)為減函數(shù);
在(x1,1)上F '(x)>0,F(xiàn)(x)為增函數(shù).
所以x1為極值點,此時m=0.
又F '(3)=ln3-1>0,F(xiàn) '(4)=21n2-2<0,
則F '(x)在(3,4)上有且只有一個零點x2,
且在(3,x2)上F '(x)>0,F(xiàn)(x)為增函數(shù);
在(x2,4)上F '(x)<0,F(xiàn)(x)為減函數(shù).
所以x2為極值點,此時m=3.
綜上m=0或m=3.
(III)(1)當x∈(0,e)時,g(x)>0,依題意,h(x)≥g(x)>0,不滿足條件;
(2)當x=e時,g(e)=0,f(e)=e3-3ae+e,
①若f(e)=e3-3ae+e≤0,即a≥,則e是h(x)的一個零點;
②若f(e)=e3-3ae+e>0,即a<,則e不是h(x)的零點;
(3)當x∈(e,+∞)時,g(x)<0,所以此時只需考慮函數(shù)f(x)在(e,+∞)上零點的情況.
因為f '(x)=3x2-3a>3e2-3a,所以
①當a≤e2時,f '(x)>0,f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增.
又f(e)=e3-3ae+e,所以
(i)當a≤時,f(e)≥0,f(x)在(e,+∞)上無零點;
(ii)當<a≤e2時,f(e)<0,
又f(2e)=8e3-6ae+e≥8e3-6e3+e>0,
所以此時f(x)在(e,+∞)上恰有一個零點;
②當a>e2時,令f '(x)=0,得x=±.
由f '(x)<0,得e<x<;
由f '(x)>0,得x>;
所以f(x)在(e, )上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.
因為f(e)=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0,
f(2a)=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0,
所以此時f(x)在(e,+∞)上恰有一個零點;
綜上,a>.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某集團為了獲得更大的收益,每年要投入一定的資金用于廣告促銷.經(jīng)調(diào)查投入廣告費t(百萬元),可增加銷售額約為-t2+5t(百萬元)(0≤t≤5) (注:收益=銷售額-投放).
(1)若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi),則應投入多少廣告費,才能使該公司由此獲得的收益最大?
(2)現(xiàn)該公司準備共投入3百萬元,分別用于廣告促銷和技術(shù)改造.經(jīng)預測,每投入技術(shù)改造費x(百萬元),可增加的銷售額約為-x3+x2+3x(百萬元).請設計一個資金分配方案,使該公司由此獲得的收益最大.
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【題目】已知橢圓的中心為原點,離心率,其中一個焦點的坐標為
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)當點在橢圓上運動時,設動點的運動軌跡為若點滿足: 其中是上的點.直線的斜率之積為,試說明:是否存在兩個定點,使得為定值?若存在,求的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形, 平面, ,點為的中點,點在棱上移動.
(1)當點為的中點時,試判斷與平面的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:無論點在的何處,都有;
(3)求二面角的余弦值.
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【題目】已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足asinA-csinC=b(sinA-sinB).
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若邊長c=4,求△ABC的周長最大值.
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【題目】是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)y=sin2x+acosx+a-在閉區(qū)間[0,]上的最大值是1?若存在,則求出對應的a的值;若不存在,則說明理由.
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【題目】已知函數(shù)(),.
(1)若的圖象在處的切線恰好也是圖象的切線.
①求實數(shù)的值;
②若方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
(2)當時,求證:對于區(qū)間上的任意兩個不相等的實數(shù), ,都有成立.
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