Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^x，當(dāng)x∈[0，1]時，求證：
（1）f（x）≥1+x；
（2）（1-x）f（x）≤1+x．

Answer 1

分析 （1）設(shè)g（x）=e^x-x-1，x∈[0，1]．利用導(dǎo)數(shù)數(shù)得到g（x）的最小值不小于0即可；
（2）設(shè)h（x）=（1-x）e^x-x-1，x∈[0，1]．利用導(dǎo)數(shù)數(shù)得到g（x）的最大值不大于0即可；

解答 證明：（1）設(shè)g（x）=e^x-x-1，x∈[0，1]．
∵g′（x）=e^x-1≥0，∴g（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
g（x）≥g（0）=1-0-1=0．
∴e^x≥1+x，即f（x）≥1+x．
（2）設(shè)h（x）=（1-x）e^x-x-1，x∈[0，1]．
∵h(yuǎn)′（x）=-xe^x-1＜0，∴h（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
h（x）≤h（0）=1-0-1=0．
∴（1-x）e^x-x-1≤0，即（1-x）f（x）≤1+x．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)數(shù)在最值中的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，恒成立問題，難度中檔．