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18.已知函數(shù)f(x)=ex,當x∈[0,1]時,求證:
(1)f(x)≥1+x;
(2)(1-x)f(x)≤1+x.

分析 (1)設g(x)=ex-x-1,x∈[0,1].利用導數(shù)數(shù)得到g(x)的最小值不小于0即可;
(2)設h(x)=(1-x)ex-x-1,x∈[0,1].利用導數(shù)數(shù)得到g(x)的最大值不大于0即可;

解答 證明:(1)設g(x)=ex-x-1,x∈[0,1].
∵g′(x)=ex-1≥0,∴g(x)在[0,1]上是增函數(shù),
g(x)≥g(0)=1-0-1=0.
∴ex≥1+x,即f(x)≥1+x.
(2)設h(x)=(1-x)ex-x-1,x∈[0,1].
∵h′(x)=-xex-1<0,∴h(x)在[0,1]上是減函數(shù),
h(x)≤h(0)=1-0-1=0.
∴(1-x)ex-x-1≤0,即(1-x)f(x)≤1+x.

點評 本題考查的知識點是導數(shù)數(shù)在最值中的應用,轉化思想,恒成立問題,難度中檔.

練習冊系列答案
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