Question

6．已知橢圓E：$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}$=1，斜率為1的直線交E于A，B兩點，若AB的中點為P，O為坐標原點，則直線OP的斜率為（　　）

• A． -1
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $-\frac{1}{3}$
• D． -2

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{18}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{9}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{18}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{9}$=1，相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{18}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，把中點坐標公式、斜率計算公式代入即可得出．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{18}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{9}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{18}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{9}$=1，
相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{18}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，
∵x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
∴$\frac{2{x}_{0}}{18}$+$\frac{1×2{y}_{0}}{9}$=0，
解得k_OP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．