【題目】已知函數(shù) f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x.(12分)
(1)討論 f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范圍.
【答案】
(1)
解:f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x,
∴f′(x)=2e2x﹣aex﹣a2=(2ex+a)(ex﹣a),
①當(dāng)a=0時,f′(x)>0恒成立,
∴f(x)在R上單調(diào)遞增,
②當(dāng)a>0時,2ex+a>0,令f′(x)=0,解得x=lna,
當(dāng)x<lna時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>lna時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
③當(dāng)a<0時,ex﹣a>0,令f′(x)=0,解得x=ln(﹣ ),
當(dāng)x<ln(﹣ )時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>ln(﹣ )時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
綜上所述,當(dāng)a=0時,f(x)在R上單調(diào)遞增,
當(dāng)a>0時,f(x)在(﹣∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)a<0時,f(x)在(﹣∞,ln(﹣ ))上單調(diào)遞減,在(ln(﹣ ),+∞)上單調(diào)遞增,
(2)
①當(dāng)a=0時,f(x)=e2x>0恒成立,
②當(dāng)a>0時,由(1)可得f(x)min=f(lna)=﹣a2lna≥0,
∴l(xiāng)na≤0,
∴0<a≤1,
③當(dāng)a>0時,由(1)可得f(x)min=f(ln(﹣ ))= ﹣a2ln(﹣ )≥0,
∴l(xiāng)n(﹣ )≤ ,
∴﹣ ≤a<0,
綜上所述a的取值范圍為[﹣ ,1]
【解析】(1.)先求導(dǎo),再分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷,
(2.)根據(jù)(1)的結(jié)論,分別求出函數(shù)的最小值,即可求出a的范圍.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本求導(dǎo)法則的相關(guān)知識,掌握若兩個函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo),以及對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解,了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°. (Ⅰ)證明:直線BC∥平面PAD;
(Ⅱ)若△PAD面積為2 ,求四棱錐P﹣ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(﹣1, ),P4(1, )中恰有三點在橢圓C上.(12分)
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為﹣1,證明:l過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,a=2,c= ,則C=( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(12分)
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱錐P﹣ABCD的體積為 ,求該四棱錐的側(cè)面積.
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【題目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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