Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x²+y²-4x=0及點(diǎn)A（-1，0），B（1，2）
（1）若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，MN=AB，求直線l的方程；
（2）在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得PA²+PB²=12？若存在，求點(diǎn)P的個數(shù)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出圓心C到直線l的距離，利用勾股定理建立方程，即可求直線l的方程；
（2）求出P的軌跡方程，利用兩圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=4，所以圓心C（2，0），半徑為2．
因?yàn)閘∥AB，A（-1，0），B（1，2），所以直線l的斜率為$\frac{2-0}{1-（-1）}=1$，
設(shè)直線l的方程為x-y+m=0，…（2分）
則圓心C到直線l的距離為$d=\frac{{|{2-0+m}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2+m}|}}{{\sqrt{2}}}$．…（4分）
因?yàn)?MN=AB=\sqrt{{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$，
而$C{M^2}={d^2}+{（\frac{MN}{2}）^2}$，所以$4=\frac{{{{（2+m）}^2}}}{2}+2$，…（6分）
解得m=0或m=-4，
故直線l的方程為x-y=0或x-y-4=0．…（8分）
（2）假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P，設(shè)P（x，y），則（x-2）²+y²=4，
PA²+PB²=（x+1）²+（y-0）²+（x-1）²+（y-2）²=12，
即x²+y²-2y-3=0，即x²+（y-1）²=4，…（10分）
因?yàn)?|2-2|＜\sqrt{{{（2-0）}^2}+{{（0-1）}^2}}＜2+2$，…（12分）
所以圓（x-2）²+y²=4與圓x²+（y-1）²=4相交，
所以點(diǎn)P的個數(shù)為2．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的方程的求法，考查了圓與圓的位置關(guān)系，是中檔題．