Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=2^x+2^ax+b且f（-1）=$\frac{5}{2}$，f（0）=2．
（1）求a，b的值； 判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于x的方程mf（x）=2^-x在[-1，1]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（-1）=$\frac{5}{2}$，f（0）=2，構(gòu)造方程求出a，b的值，進(jìn)而根據(jù)奇偶性的定義，可得結(jié)論；
（2）證法一：設(shè)x₁，x₂是區(qū)間（0，+∞）上的兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，作差判斷f（x₁），f（x₂）的大小，可得結(jié)論；
證法二：求導(dǎo)，根據(jù)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，可得：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）若關(guān)于x的方程mf（x）=2^-x在[-1，1]上有解，即m=$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$在[-1，1]上有解，求出f（x）=$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$的值域，可得答案．

解答 解：（1）∵f（-1）=$\frac{5}{2}$，f（0）=2．
∴$\frac{1}{2}$+2^-a+b=$\frac{5}{2}$，1+2^b=2，
解得：a=-1，b=0，
∴f（x）=2^x+2^-x； 
函數(shù)的定義域?yàn)镽，
且f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
故函數(shù)為偶函數(shù)，
（2）證法一：設(shè)x₁，x₂是區(qū)間（0，+∞）上的兩個(gè)任意實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
于是f（x₂）-f（x₁）=（${2}^{{x}_{1}}+{2}^{-{x}_{1}}$）-（${2}^{{x}_{2}}+{2}^{-{x}_{2}}$）=（${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$）$\frac{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$．
因?yàn)閤₂＞x₁＞0，所以${2}^{{x}_{1}}＞1$，${2}^{{x}_{2}}＞1$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，所以f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．
證法二：∵f（x）=2^x+2^-x．
∴f′（x）=ln2•（2^x+2^-x）．
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，
f′（x）＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）若關(guān)于x的方程mf（x）=2^-x在[-1，1]上有解，
即m=$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$在[-1，1]上有解，
令f（x）=$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=$\frac{1}{{2}^{2x}+1}$，
則f（x）∈[$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{5}$]，
故m∈[$\frac{1}{5}$，$\frac{4}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的證明與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．