Question

10．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），且對(duì)?x∈R，都有f'（x）＞-2，則不等式$f（{log_2}|{3^x}-1|）＜3-{log_{\sqrt{2}}}|{3^x}-1|$的解集為（　　）

• A． （-∞，0）∪（0，1）
• B． （0，+∞）
• C． （-1，0）∪（0，3）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 令F（x）=f（x）+2x，求出導(dǎo)函數(shù)F'（x）=f'（x）+2＞0，判斷F（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由f（1）=1，轉(zhuǎn)化$f（{log_2}|{3^x}-1|）＜3-{log_{\sqrt{2}}}|{3^x}-1|$為$f（{log_2}|{3^x}-1|）+2{log_2}|{3^x}-1|＜3$，然后求解不等式即可．

解答 解：令F（x）=f（x）+2x，有F'（x）=f'（x）+2＞0，
所以F（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由f（1）=1，得F（1）=f（1）+2=3，因?yàn)?f（{log_2}|{3^x}-1|）＜3-{log_{\sqrt{2}}}|{3^x}-1|$等價(jià)于$f（{log_2}|{3^x}-1|）+2{log_2}|{3^x}-1|＜3$，
令$t={log_2}|{3^x}-1|$，有f（t）+2t＜3，則有t＜1，即${log_2}|{3^x}-1|＜1$，
從而|3^x-1|＜2，解得x＜1，且x≠0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題是考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用．