Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n．
（1）求證：{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列．
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）求證：

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用等比數(shù)列的定義，構(gòu)造

an+2-an+1

an+1-an

=q≠0進(jìn)行證明．
（2）利用（1）可先求a_n+1-a_n=2ⁿ，利用疊加法可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，從而可求a_n
（3）由

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

證明不等式右邊，由

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

．

1

2k

證明不等式左邊．

解答： （1）證明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∵a₁=1，a₂=3，
∴a₂-a₁=2≠0．
∴{a_n+1-a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）得a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1=2ⁿ-1；
（3）證明：∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，…，n．
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．
∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3•2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

．

1

2k

，k=1，2，…，n．
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

≥

n

2

-

1

3

（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）
=

n

2

-

1

3

（1-

1

2n

）＞

n

2

-

1

3

，
∴

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

．
綜上，

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

（n∈N^*）．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識的綜合運(yùn)用，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的運(yùn)用，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，考查綜合解題能力．題是數(shù)列與不等式綜合題，屬壓軸題．