Question

如圖，三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，M為AD中點，AB=BD=CD=1．
（1）證明：BM⊥CD；
（2）求三棱錐A-MBC的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得CD⊥AB，CD⊥BD，從而CD⊥平面ABD，由此能證明CD⊥BM．
（2）由已知得AB⊥BD，由VA-MBC=VC-ABM ，利用等積法能求出三棱錐A-MBC的體積．

解答： （1）證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴CD⊥AB，又CD⊥BD，
BD，AB?平面ABD，且BD∩AB=B，
∴CD⊥平面ABD，
又MD?平面ABD，
∴CD⊥BM．
（2）解：由已知得AB⊥BD，
∴S△ABD=

1

2

AB•BD=

1

2

，
∵M為AD中點，∴S△ABM=

1

2

S△ABD=

1

4

，
由（1）得CD⊥平面ABD，
∴三棱錐C-ABM的高h=CD=1，
∴VA-MBC=VC-ABM =

1

3

S△ABM•h=

1

12

．

點評：本題考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意等積法的合理運用．