Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，與底面所成角為.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，進(jìn)而可得出；

（2）根據(jù)直線(xiàn)與底面所成的角為可計(jì)算出，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能計(jì)算出二面角的余弦值.

（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，有平面，平面，，

因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，所以，

又，從而平面.

而平面，所以；

（2）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，有、、兩兩垂直，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知為直線(xiàn)與平面所成的角，

又因?yàn)?/span>與平面所成角為，所以，所以.

由，得，可知，所以，

又，即，故，

則，，，，，

所以，，

設(shè)平面的法向量為，則，

即，令，可得，

因?yàn)?/span>平面，所以為平面的法向量，即，

所以.

由圖形可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.