Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-1
（1）當(dāng)a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值和最大值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：利用二次函數(shù)的單調(diào)性和區(qū)間端點(diǎn)與二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系建立方程即可得出．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，且f（1）=1-2-1=-2；又f（0）=-1，f（2）=2²-2×2-1=-1，∴函數(shù)f（x）的最大值為f（0）=f（2）=-1．
（2）f（x）=（x-a）²-a²-1，
①當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f（0）=-1；
②當(dāng)a≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（2）=3-4a；
③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[a，2]上單調(diào)遞增．
當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，且f（a）=-a²-1．
綜上可知：f(x)min=

-1，a≤0 -a2-1，0＜a＜2 3-4a，a≥2

．

點(diǎn)評：熟練掌握二次函數(shù)的單調(diào)性和分類討論思想方法是解題的關(guān)鍵．