Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+1+|3-x|，x≥-1．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為n，正數(shù)a，b滿足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由絕對(duì)值的性質(zhì)可以將f（x）≤6轉(zhuǎn)化可得$\left\{\begin{array}{l}{x-1+（3-x）≤6}\\{-1≤x＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1+（x-3）≤6}\\{x≥3}\end{array}\right.$，解可得x的范圍，即可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值為4，即n=4；進(jìn)而可得正數(shù)a，b滿足8ab=a+2b，即$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$=8，將2a+b變形可得2a+b=$\frac{1}{8}$（$\frac{2a}$+$\frac{2b}{a}$+5），由基本不等式的性質(zhì)可得2a+b的最小值，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=x+1+|3-x|，x≥-1．
若f（x）≤6，則有$\left\{\begin{array}{l}{x-1+（3-x）≤6}\\{-1≤x＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1+（x-3）≤6}\\{x≥3}\end{array}\right.$，
解可得-1≤x≤4，
故原不等式的解集為{x|-1≤x≤4}；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=x+1+|3-x|=$\left\{\begin{array}{l}{4，-1≤x＜3}\\{2x-2，x≥3}\end{array}\right.$，
分析可得f（x）的最小值為4，即n=4；
則正數(shù)a，b滿足8ab=a+2b，即$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$=8，
2a+b=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}$+$\frac{2}{a}$）（2a+b）=$\frac{1}{8}$（$\frac{2a}$+$\frac{2b}{a}$+5）≥$\frac{1}{8}$（5+2$\sqrt{\frac{2a}•\frac{2b}{a}}$）=$\frac{9}{8}$；
即2a+b的最小值為$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，涉及基本不等式的性質(zhì)與應(yīng)用，關(guān)鍵是正確求出函數(shù)f（x）的最小值．