Question

4．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F(xiàn)，H分別是棱PA，PB，AD的中點，且過E，F(xiàn)，H的平面截四棱錐P-ABCD所得截面面積為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，則四棱錐P-ABCD的體積為（　�。�

• A． $\frac{8}{3}$
• B． 8
• C． $8\sqrt{3}$
• D． $24\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取BC中點M，連結(jié)FM，HM，推導出平面EFMH是過E，F(xiàn)，H的平面截四棱錐P-ABCD所得截面，設PA=AB=a，則S_梯形EFMH=$\frac{1}{2}（\frac{a}{2}+a）×\frac{\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，求出a=2，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答 解：取BC中點M，連結(jié)FM，HM，
∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
PA=AB，E，F(xiàn)，H分別是棱PA，PB，AD的中點，
∴EF∥AB∥MH，∴EF⊥EH，MH⊥EH，
平面EFMH是過E，F(xiàn)，H的平面截四棱錐P-ABCD所得截面，
設PA=AB=a，
∵過E，F(xiàn)，H的平面截四棱錐P-ABCD所得截面面積為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴S_梯形EFMH=$\frac{1}{2}（EF+MH）×EH$=$\frac{1}{2}（\frac{a}{2}+a）×\frac{\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得a=2，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×2×2×2$=$\frac{8}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查柱、錐、臺體的體積的求法，考查空間想象能力與計算能力，是中檔題．