Question

3．2017年高考特別強調(diào)了要增加對數(shù)學(xué)文化的考查，為此瓦房店市高級中學(xué)高三年級數(shù)學(xué)組特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的專題訓(xùn)練卷（文、理科試卷滿分均為100分），并對整個高三年級的學(xué)生進行了測試．現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機抽取了50名學(xué)生的成績，按照成績?yōu)閇50，60），[60，70），…，[90，100]分成了5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績均不低于50分）．
（1）求頻率分布直方圖中的x的值，并估計所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，中位數(shù)請用分?jǐn)?shù)表示）；
（2）若高三年級共有700名學(xué)生，試估計高三學(xué)生中這次測試成績不低于70分的人數(shù)；
（3）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的三組學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人參加這次考試的考后分析會，試求后兩組中至少有1人被抽到的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出第4組的頻率，由此能求出x，從而可估計所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)．
（2）求出50名學(xué)生中成績不低于70分的頻率，由此能估計高三年級700名學(xué)生中成績不低于70分的人數(shù)．
（3）求出后三組中的人數(shù)分別為15，10，5，從而這三組中所抽取的人數(shù)分別為3，2，1．記成績在[70，80）這組的3名學(xué)生分別為a，b，c，成績在[80，90）這組的2名學(xué)生分別為d，e，成績在[90，100]這組的1名學(xué)生為f，由此利用列舉法能求出后兩組中至少有1人被抽到的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可得第4組的頻率為1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2，
故x=0.02．----------------（1分）
故可估計所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)為：
（55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.02+95×0.01）×10=74（分）．----------------（3分）
由于前兩組的頻率之和為0.1+0.3=0.4，
前三組的頻率之和為0.1+0.3+0.3=0.7，
故中位數(shù)在第3組中．
設(shè)中位數(shù)為t分，
則有（t-70）×0.03=0.1，所以$t=73\frac{1}{3}$，
即所求的中位數(shù)為$73\frac{1}{3}$（或?qū)懗?\frac{220}{3}$）分．----------------（5分）
（2）由（1）可知，50名學(xué)生中成績不低于70分的頻率為0.3+0.2+0.1=0.6，
由以上樣本的頻率，
可以估計高三年級700名學(xué)生中成績不低于70分的人數(shù)為700×0.6=420．----------------（7分）
（3）由（1）可知，后三組中的人數(shù)分別為15，10，5，
故這三組中所抽取的人數(shù)分別為3，2，1．
記成績在[70，80）這組的3名學(xué)生分別為a，b，c，
成績在[80，90）這組的2名學(xué)生分別為d，e，
成績在[90，100]這組的1名學(xué)生為f，
則從中任抽取3人的所有可能結(jié)果為：
（a，b，c），（a，b，d），（a，b，e），（a，b，f），（a，c，d），
（a，c，e），（a，c，f），（a，d，e），（a，d，f），（a，e，f），
（b，c，d），（b，c，e），（b，c，f），（b，d，e），（b，d，f），
（b，e，f），（c，d，e），（c，d，f），（c，e，f），（d，e，f）共20種．----------------（10分）
其中后兩組中沒有人被抽到的可能結(jié)果為（a，b，c），只有1種，
故后兩組中至少有1人被抽到的概率為$P=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$．----------------（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖、列舉法的合理運用．