Question

2．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）y=3x-x³；
（2）f（x）=x³-$\frac{{x}^{2}}{2}$-2x+5；
（3）f（x）=2x²-lnx．
（4）y=2x²-5x+4．

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）y′（x）=3-3x²，令3-3x²=0得x=-1或x=1．
∴當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，y′＜0，當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，y′＞0．
∴y=3x-x³的增區(qū)間是[-1，1]，減區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）．
（2）f′（x）=3x²-x-2，令3x²-x-2=0，解得x=-$\frac{2}{3}$或x=1．
∴當(dāng)＜-$\frac{2}{3}$或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-$\frac{2}{3}$＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）=x³-$\frac{{x}^{2}}{2}$-2x+5的增區(qū)間是（-∞，-$\frac{2}{3}$），（1，+∞），減區(qū)間是（-$\frac{2}{3}$，1）．
（3）f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，f′（x）=4x-$\frac{1}{x}$，令4x-$\frac{1}{x}$=0，解得x=$\frac{1}{2}$或x=-$\frac{1}{2}$（舍）．
∴當(dāng)0＜x$＜\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x$＞\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）=2x²-lnx的增區(qū)間是（$\frac{1}{2}$，+∞），減區(qū)間是（0，$\frac{1}{2}$）．
（4）y=2x²-5x+4的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x=$\frac{5}{4}$．
∴y=2x²-5x+4的增區(qū)間是（$\frac{5}{4}$，+∞），減區(qū)間是（-∞，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．