Question

風(fēng)景秀美的鳳凰湖畔有四棵高大的銀杏樹，記做A、B、P、Q，欲測(cè)量P、Q兩棵樹和A、P兩棵樹之間的距離，但湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能靠近，現(xiàn)在可以方便的測(cè)得A、B兩點(diǎn)間的距離為AB=100米，如圖，同時(shí)也能測(cè)量出∠PAB=75°，∠QAB=45°，∠PBA=60°，∠QBA=90°，則P、Q兩棵樹和A、P兩棵樹之間的距離各為多少？

Answer 1

【答案】分析：在三角形PAB中，由內(nèi)角和定理求出∠APB的度數(shù)，由sin∠APB，sin∠ABC，以及AB的長(zhǎng)，利用正弦定理求出AP的長(zhǎng)即可；在三角形QAB中，由∠ABQ為直角，∠CAB為45度，得到三角形QAB為等腰直角三角形，根據(jù)AB求出AQ的長(zhǎng)，∠PAQ的度數(shù)，利用余弦定理即可求出PQ的長(zhǎng)．
解答：解：在△PAB中，∠APB=180°-（75°+60°）=45°，
由正弦定理得：=，得到AP=50（米）；
在△QAB中，∠ABQ=90°，∠CAB=45°，AB=100米，
∴AQ=100米，∠PAQ=75°-45°=30°，
由余弦定理得：PQ²=（50）²+（100）²-2×50×100cos30°=5000，
解得：PQ=50，
答：P、Q兩顆樹之間的距離為50米，A、P兩顆樹之間的距離為50米．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．