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已知函數f(x)=2
3
sin(π-x)+2sin(
3π
2
+x)
（1）若x∈[0，π]，求f（x）的值域；
（2）若x0為函數y=f（x）的一個零點，求
2cos2
x0
2
-sinx0-1
2
sin(x0+
π
4
)
的值．
分析：（1）函數解析式利用誘導公式化簡，整理后另一條兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，設這個角為t，得到y(tǒng)關于t的函數解析式，根據x的范圍求出t的范圍，利用正弦函數的定義域與值域即可求出f（x）的值域；
（2）由x0為函數y=f（x）的一個零點，將x=x0代入函數y=f（x）中值為0求出tanx0的值，所求式子利用二倍角的余弦函數公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡后，再利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，將tanx0的值代入計算即可求出值．
解答：解：f（x）=2
3
sinx-2cosx=4sin（x-
π
6
），
令t=x-
π
6
，則y=4sint，
∵x∈[0，π]，∴t∈[-
π
6
，
5π
6
]，
則由三角函數的圖象知f（x）∈[-2，4]；
（2）∵x0為函數y=f（x）的一個零點，
∴f（x0）=4sin（x0-
π
6
）=2
3
sinx0-2cosx0=0，
∴tanx0=
3
3
，
∴
2cos2
x0
2
-sinx0-1
2
sin(x0+
π
4
)
=
cosx0-sinx0
sinx0+cosx0
=
1-tanx0
1+tanx0
=
1-
3
3
1+
3
3
=2-
3
．
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，函數的零點，誘導公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數；
（3）是否存在負數x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數x均成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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