Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的振幅為2，最小正周期為π，且f（x）≤f（

π

6

）對(duì)?x∈R恒成立．
（Ι）求函數(shù)f（x）的解析式，并求其單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）若f（

α

2

）=-

2

3

，α∈（0，π），求cosα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由f（

α

2

）=-

2

3

求得sin（α+

π

6

）=-

1

3

．結(jié)合α∈（0，π），可得α+

π

6

∈（π，

7π

6

），可得cos（α+

π

6

）的值，再由cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]利用兩角差的余弦公式求得結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得A=2，

2π

ω

=π，∴ω=2．
再根據(jù)f（x）≤f（

π

6

）對(duì)?x∈R恒成立，可得 2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z，
即φ=2kπ+

π

6

，k∈z．
再結(jié)合0＜φ＜

π

2

，可得φ=

π

6

，∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（Ⅱ）若f（

α

2

）=-

2

3

，則有 2sin（α+

π

6

）=-

2

3

，即sin（α+

π

6

）=-

1

3

．
結(jié)合α∈（0，π），可得α+

π

6

∈（π，

7π

6

），∴cos（α+

π

6

）=-

2 2

3

，
∴求cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]=cos（α+

π

6

）cos

π

6

+sin（α+

π

6

）sin

π

6

=-

1+2 6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的增區(qū)間，兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．