已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（a∈R）．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）＞0在（0，
1
2
）內恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)恒成立問題
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）將a=1代入函數(shù)的表達式，求出導函數(shù)，解不等式，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）＞0在（0，
1
2
）內恒成立，即對x∈（0，
1
2
），a＞2-
2lnx
x-1
恒成立，令l（x）=2-
2lnx
x-1
，則l′（x）=
2lnx+
2
x
-2
(x-1)2
，得l（x）在（0，
1
2
）遞增，從而求出a的范圍．
解答： 解：（1）a=1時：f（x）=x-1-2lnx，
∴f′（x）=1-
2
x
，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）單調遞減，在（2，+∞）單調遞增；
（2）若函數(shù)f（x）＞0在（0，
1
2
）內恒成立，
即對x∈（0，
1
2
），a＞2-
2lnx
x-1
恒成立，
令l（x）=2-
2lnx
x-1
，則l′（x）=
2lnx+
2
x
-2
(x-1)2
，
令m（x）=2lnx+
2
x
-2，x∈（0，
1
2
），
則m′（x）=
-2(1-x)
x2
＜0，
∴m（x）在（0，
1
2
）遞減，
∴m（x）＞m（
1
2
）=2-2ln2＞0，
∴l(xiāng)′（x）＞0，
∴l(xiāng)（x）在（0，
1
2
）遞增，
∴要使a＞2-
2lnx
x-1
恒成立，
只需a∈[2-4ln2，+∞）．
a≥2-4ln2；
點評：本題考查了函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，求參數(shù)的范圍，是一道中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜
π
2
）的振幅為2，最小正周期為π，且f（x）≤f（
π
6
）對?x∈R恒成立．
（Ι）求函數(shù)f（x）的解析式，并求其單調遞增區(qū)間．
（Ⅱ）若f（
α
2
）=-
2
3
，α∈（0，π），求cosα的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線y=x被曲線2x2+y2=2截得的弦長為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{2n-1•an}的前n項和Sn=9-6n．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=n•（3-log2
|an|
3
），設數(shù)列{
1
bn
}的前n項和為Tn，求使Tn＜
m
6
恒成立的m的最小整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知
OA
=
a
+
b
+2
c
，
OB
=2
a
-
b
+
c
，
OC
=2
a
+3
b
+2
c
，
OD
=5
a
-3
b
-
c
，其中
.
a
，
b
，
c
三向量不共面．試判斷A，B，C，D四點是否共面？
（2）設
a1
=2
i
-
j
+
k
，
a2
=
i
+3
j
-2
k
，
a3
=-2
i
+
j
-3
k
，
a4
=3
i
+2
j
+5
k
．試問是否存在實數(shù)λ，μ，v，使
a4
=λ
a1
+μ
a2
+v
a3
成立？如果存在，求出λ，μ，v；如果不存在，請給出理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個扇形的圓心角為
π
3
弧度，它的圓心角所對的弦長為3，則這個扇形的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列函數(shù)的值域：
（1）y=x+
5
x
（x≥1）；
（2）y=x+
5
x
（x≤-3）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3+3x2+9x+a在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，則最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f′（1）=1，則當d→0時，
f(1+d)-f(1)
d
→
 
．（用數(shù)字作答）

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