Question

8．如圖∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，以BD為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求證：BC•CE=AD•DB；
（Ⅱ）若BE=4，點(diǎn)N在線段BE上移動，∠ONF=90°，NF與⊙O相交于點(diǎn)F，求NF的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由∠ACB=90°，CD⊥AB于D，得到CD²=AD•DB，由此利用切割線定理能證明CE•CB=AD•DB．
（Ⅱ）由NF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{N}^{2}}$，線段OF的長為定值，得到需求解線段ON長度的最小值，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴CD²=AD•DB，
∵CD是圓O的切線，
由切割線定理，得CD²=CE•CB，
∴CE•CB=AD•DB．
解：（Ⅱ）∵ON⊥NF，∴NF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{N}^{2}}$，
∵線段OF的長為定值，即需求解線段ON長度的最小值，
弦中點(diǎn)到圓心的距離最短，此時N為BE的中點(diǎn)，點(diǎn)F與點(diǎn)B或E重合，
∴|NF|_max=$\frac{1}{2}$|BE|=2．

點(diǎn)評 本題考查兩組線段乘積相等的證明，考查線段長最小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意切割線定理的合理運(yùn)用．