Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（Ⅰ）求證：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）若EC=3，求證：ND⊥FC；
（Ⅲ）求四面體NFEC體積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)樗倪呅蜯NEF，EFDC都是矩形，
所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．
所以四邊形MNCD是平行四邊形，…（2分）
所以NC∥MD，…（3分）
因?yàn)镹C?平面MFD，所以NC∥平面MFD．…（4分）
（Ⅱ）證明：連接ED，設(shè)ED∩FC=O．
因?yàn)槠矫鍹NEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，
所以NE⊥平面ECDF，…（5分）
因?yàn)镕C?平面ECDF，
所以FC⊥NE．…（6分）
又EC=CD，所以四邊形ECDF為正方形，所以FC⊥ED．…（7分）
所以FC⊥平面NED，…（8分）
因?yàn)镹D?平面NED，
所以ND⊥FC．…（9分）
（Ⅲ）設(shè)NE=x，則EC=4-x，其中0＜x＜4．
由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面體NFEC的體積為VNFEC=

1

3

S△EFC•NE=

1

2

x(4-x)．…（11分）
所以VNFEC≤

1

2

[

x+(4-x)

2

]2=2．…（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=4-x，即x=2時，四面體NFEC的體積最大．…（14分）