Question

如圖點(diǎn)P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對(duì)角線BC₁上運(yùn)動(dòng)，則下列命題：
①DP⊥BC₁；
②三棱錐A-D₁PC的體積不變；
③面PDB₁⊥面ACD₁；
④A₁P∥面ACD₁．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：利用正方體的性質(zhì)結(jié)合空間線面位置關(guān)系求解．

解答： 解：對(duì)于①，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，
若DP⊥BC₁，則BC₁⊥平面DCP，
BC₁⊥PC，則P為中點(diǎn)，與P為動(dòng)點(diǎn)矛盾，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由題意知AD₁∥BC₁，從而B(niǎo)C₁∥平面AD₁C，
故BC₁上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離均相等，
所以以P為頂點(diǎn)，平面AD₁C為底面，則三棱錐A-D₁PC的體積不變，故②正確；
對(duì)于③，連接DB₁，由DB₁⊥AC且DB₁⊥AD₁，
可得DB₁⊥面ACD₁，從而由面面垂直的判定知，故③正確．
對(duì)于④，連接A₁B，A₁C₁，A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得，故④正確；
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想．